L'avant-première - Corrigé

Énoncé

Lors d'une avant-première, un cinéma propose uniquement deux tarifs : \(5\)  euros la place pour les abonnés et \(13\)  euros la place pour les non-abonnés.

La recette réalisée pour la vente de places à cette avant-première a été de \(4\,059\)  euros. Le gérant du cinéma souhaite déterminer la répartition exacte des spectateurs (abonnés et non-abonnés). Il sait seulement que le film a été projeté dans une salle de \(395\) places, et qu'il restait moins de sept places libres.

Déterminer le nombre d'abonnés et le nombre de non-abonnés ayant assisté à cette avant-première.

Solution

On note :

• \(x\) le nombre d'abonnés ayant assisté à l'avant-première ;
• \(y\) le nombre de non-abonnés ayant assisté à l'avant-première.

On a alors \(5x+13y=4\,059\) et on sait que \(389 \leqslant x+y \leqslant 395\) . Notons \((E) \colon 5x+13y=4\,059\) et résolvons cette équation dans \(\mathbb{Z}^2\) .

• On applique l'algorithme d'Euclide pour \(5\) et \(13\) :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 13&5&2&3\\ \hline 5&3&1&2\\ \hline 3&2&1&1\\ \hline 2&1&2&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 2 \\ \times (-1) \\ \times 1\\ \ \end{array}\end{align*}\)  
  On a donc \(\mathrm{PGCD}(13;5)=1\) , et comme \(1\) divise \(4059\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.
  
• En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient
  \(\begin{align*}13 \times 2+5 \times (-1)=5 \times 2 \times 2+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5 \times (-5)+13 \times 2=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5 \times (-20\,295)+13 \times 8118=4\,059\end{align*}\)
  donc \((x_0;y_0)=(-20295;8118)\) est une solution particulière de \((E)\) .
  
• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
  On a
  \(\begin{align*}5x+13y=5 \times (-20\,295)+13 \times 8\,118& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5(x+20\,295)=13(8\,118-y).\end{align*}\)
  On en déduit que \(5\) divise \(13(8\,118-y)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(5;13)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(5\) divise \(8118-y\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}8\,118-y=5k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=8\,118-5k.\end{align*}\)
  On a alors
  \(\begin{align*}5(x+20\,295)=13(8\,118-y)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 5(x+20\,295)=13 \times 5k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+20\,295=13k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=13k-20\,295.\end{align*}\)  
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(13k-20\,295;8\,118-5k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(13k-20\,295;8\,118-5k)\) .
  On a
  \(\begin{align*}5x+13y& = 5(13k-20\,295)+13(8\,118-5k)= 5 \times (-20\,295)+13 \times 8\,118= 4\,059\end{align*}\)
  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(13k-20\,295;8\,118-5k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
  

Par conséquent, il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(x=13k-20\,295\) et \(y=8\,118-5k\) .

On utilise maintenant la condition \(389 \leqslant x+y \leqslant 395\) : 
\(\begin{align*}389 \leqslant x+y \leqslant 395& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 389 \leqslant 13k-20\,295+8118-5k \leqslant 395\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 389 \leqslant 8k-12\,177 \leqslant 395\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 12\,566 \leqslant 8k \leqslant 12\,572\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{12\,566}{8} \leqslant k \leqslant \frac{12\,572}{8}\end{align*}\)   

avec \(\dfrac{12\,566}{8}=1\,570,75\) et \(\dfrac{12\,572}{8}= 1\,571,5\) .

Comme \(k\) est un entier, on en déduit que \(k=1\,571\) .

On a ainsi \(x=13 \times 1\,571-20\,295=128\) et \(y=8\,118-5 \times 1\,571=263\) .